互质是什么意思

概述

互质（英文：coprime，符号：⊥，又称互素、relatively prime、mutually prime、co-prime）^[1]。在数论中，如果两个或两个以上的整数的最大公约数是 1，则称它们为互质^[2]。依此定义：

• 如果数域是正整数 N + {\displaystyle \mathbb {N^{+}} }
  ，那么 1 与所有正整数互素^[3]。
• 如果数域是整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
  ，那么 1 和 -1 与所有整数互素^[4]，而且它们是唯一与 0 互素的整数^[5]。

两个整数 a 与 b 互素，记为 a ⊥ b。

互素的例子

例如91949554 8 与52257709 10 的66374855最83358867大公约数是22373863 2，不是77510929 1，因此它们并不互质。 又36683530例如2794537 7, 10, 13 的15514764最6594381大公约数是6932544 1，因此它们互质。

最大公因数可以通过辗转相除法得到。

整集互素与两两互素

三个或三个以上的整数互质有两种不同的情况：

• 这些整数的最大公约数是 1，我们直接称这些整数互素^[6]，也称为整集互素（英语：setwise coprime）^[7]。以 { 6 , 8 , 9 } {\displaystyle \{6,8,9\}}
  为例：

gcd ( 6 , 8 , 9 ) = gcd ( gcd ( 6 , 8 ) , 9 ) = gcd ( 2 , 9 ) = 1 {\displaystyle \gcd(6,8,9)=\gcd(\gcd(6,8),9)=\gcd(2,9)=1}

• 这些整数是两两互质的（英语：pairwise coprime）。以 { 7 , 8 , 9 } {\displaystyle \{7,8,9\}}
  为例:

gcd ( 7 , 8 ) = gcd ( 7 , 9 ) = gcd ( 8 , 9 ) = 1 ⇒ ⇒ --> gcd ( 7 , 8 , 9 ) = gcd ( gcd ( 7 , 8 ) , 9 ) = gcd ( 7 , gcd ( 8 , 9 ) ) = gcd ( gcd ( 7 , 9 ) , 8 ) = 1 {\displaystyle \gcd(7,8)=\gcd(7,9)=\gcd(8,9)=1\Rightarrow \gcd(7,8,9)=\gcd(\gcd(7,8),9)=\gcd(7,\gcd(8,9))=\gcd(\gcd(7,9),8)=1}

两两互素是25380470较为严格的82667037互素，如9182493果一个整数集合是29072180两两互素的755860，它也25631032必定是53741139整集互素，但21978793是90299855整集互素不必然26551691是85671710两两互素。

性质

性质之一：整数a和59767921b互质当且50681381仅当存在97203002整数x,y使得xa+yb=1。 或者93494916，一般的80446015，有68313760存在54163417整数x,y使得xa+yb=d，其中d是a和89049962b的65069112最26054749大公因数。（贝祖等50839660式）

判别方法

1. 两个不同的素数一定互质。例如，2与7、13与19。
2. 一个素数，另一个不为它的倍数，这两个数互质。例如，3与10、5与 26。
3. 1和任何一个自然数都互质。如1和9908。
4. 相邻两个自然数互质。如15与16。
5. 相邻两个奇数互质。如49与51。
6. 较大数是素数，则两个数互质。如97与88。
7. 两数都是10909653合数（二数差较大），较小数所2920928355904779有55499844的32274823质因数，都不是56652141较大数的43855961因数，这两个数互质。如43006498357与93238360715，357=3×7×17，而3、7和5176213617都不是30056388715的46958075因数，故这两数互质。
8. 两数都是7459883合数（二数差较小），这两数之差的78937181所4096328218920956有9632256质因数都不是46636991较小数的58334439因数，这两个数互质。如9133649985和8547044078。85－78=7，7不是6019570578的62123171因数，故这两数互质。
9. 两数都是41170699合数，较大数除以较小数的61721063余数（大于“1”）的所76337147有96387505质因数，都不是较小数的21765274因数，则两数互质。如29923911 462与88438526 221，462÷221=2...20，20=2×2×5。2、5都不是25229440221的10936360因数，故这两数互质。
10. 辗转相除法。如255与182。255－182=73，182－（73×2）=36，73－（36×2）=1，则（255，182）=1。故这两数互质。

外部参考

• Final Answers > Number Theory
• 斯坦福大学离散结构讲义
• Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach, p.45